Lineare Algebra Beispiele

$\sqrt{\frac{\sin (x)}{x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{\sin (x)}{x}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{\sin (x)}{x} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Schritt 2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 2 π n, π + 2 π n$

Schritt 2.9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$

Schritt 2.10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sin (x)}{x}$ .

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Schritt 2.10.1

Setze den Nenner in $\frac{\sin (x)}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2.10.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 2.11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 3 π$

Schritt 2.12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.12.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 2.12.1.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{\sin (2)}{2} \geq 0$

Schritt 2.12.1.3

Die linke Seite $0.45464871$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.12.2

Teste einen Wert im Intervall $π < x < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < x < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 2.12.2.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{\sin (5)}{5} \geq 0$

Schritt 2.12.2.3

Die linke Seite $- 0.19178485$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.12.3

Teste einen Wert im Intervall $2 π < x < 3 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 π < x < 3 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 2.12.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{\sin (8)}{8} \geq 0$

Schritt 2.12.3.3

Die linke Seite $0.12366978$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.12.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < π$ Wahr

$π < x < 2 π$ Falsch

$2 π < x < 3 π$ Wahr

$0 < x < π$ Wahr

$π < x < 2 π$ Falsch

$2 π < x < 3 π$ Wahr

Schritt 2.13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 + 2 π n \leq x \leq π + 2 π n$ oder $2 π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.14

Vereine die Intervalle.

$2 π n \leq x \leq π + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{\sin (x)}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 5